1) Нет правил, запрещающих педиатру ходить в уличной обуви по квартире. Есть правила, которые обязывают поликлинику или больницу обеспечить врача бахилами (вот этого почему-то часто не происходит), и, насколько я понимаю, вполне туманная рекомендация эти бахилы надевать при посещении. Ясно дело, что такие мелочи как и где потом эти бахилы оставлять, не регулируются.

2) Я так понимаю, что у вас есть право отказаться от визита педиатра - достаточно написать заявление на имя заведующего поликлиникой или больницей, и отдать его педиатру при посещении, не пуская ее в квартиру.